Aproximación de Pi

Se me ha ocurrido una forma de aproximarse a Pi bastante buena, y muy sencilla de entender.

Empecemos con un círculo, simplificado a 4 lados (l). De infinitos lados hemos pasado a 4, no está mal:

Si tomásemos ese cuadrado como un círculo, su longitud sería 4l. Supongamos que r vale 1 (además, así se simplifican los cálculos), por lo que l valdrá (Teorema de Pitágoras) . Si la fórmula de la longitud es 2(Pi)r, tendríamos que 4=2(Pi), por lo que Pi valdría 2.828...

Ahora, tomemos un polígono de mayor número de lados (es más sencillo con los que tengan 2ⁿ lados). En este caso, 8.

En este caso tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales son r (1), y el desigual l. Para poder sacar el valor de l tenemos que partirlo por la mitad, de modo que tengamos dos triángulos rectángulos de lados r, a y b.
De este triángulo conocemos la hipotenusa (1), el ángulo recto y el que coincide con el centro de la circunferencia. Como la circunferencia mide 360º (simplificada en 2ⁿ lados, y nosotros tenemos la mitad del triángulo, ese ángulo será 2ⁿ⁺¹. Ahora que conocemos ese ángulo, podemos aplicar la fórmula del seno para hallar el valor de b. En este caso,

sin (360/16)=0.3827...

Como r=1, b=0.3827... Y como l=2b, l=0.7654... Por tanto, la longitud de esta circunferencia será 8l=6.1229..., y Pi tendrá un valor de 3.0615.

De todo esto se saca la siguiente fórmula:

Cuanto mayor sea el valor de n, más dígitos de Pi saldrán. Con n=21 salen 9 decimales. No es gran cosa, pero menos da una piedra.

Logaritmos

log(ger^b) = blogger

Sé que últimamente no escribo mucho, pero es porque apenas tengo tiempo. A ver si consigo sacar algún rato más...

Binomio de Newton

Hoy en Matemáticas hemos estado repasando lo que dimos el año pasado, y ha salido lo de las identidades notables [(a+b)², (a-b)², (a+b)(a-b)...]. Además, el profesor ha nombrado de pasada algo del Binomio de Newton, la expresión general de (a+b)ⁿ.
Más tarde, en Tutoría, yo estaba aburrido como una ostra por las estupideces que estaban diciendo los que se presentaban a delegado de curso (evidentemente, yo no he querido participar. Ya tuve suficiente con lo de hace dos años, cuando me derrocaron). Así que he cogido un papel, y me he puesto a escribir.

Primero, he resuelto (a+b)². Después, (a+b)³. Así, hasta llegar a (a+b)⁵. He obtenido los siguientes datos:

• (a+b)² = a²+2ab+b²
• (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
• (a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
• (a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

Luego, he hecho un montón de cálculos extraños que ahora no entiendo ni yo (especialmente porque están distribuidos por dos hojas diferentes, y escritos en diferentes momentos de la clase). Me he dado cuenta de que los términos que van solos están elevados a ⁿ, así que lo primero que he hecho ha sido escribir:

(a+b)ⁿ = aⁿ+a^n-1b⁰+a^n-2b¹+ ··· +a¹b^n-2+a⁰b^n-1+bⁿ

El siguiente problema con el que me he topado han sido los números que faltan. Por ejemplo, con esta fórmula, (a+b)² sería a²+ab+b². Por tanto, faltan unos números que multipliquen los términos del polinomio.
Si se ordenan los valores, se obtiene este curioso triángulo:

Sé que no es estéticamente agradable, pero sólo es ilustrativa. Al paracer, se llama Triángulo de Tartaglia.
Si nos fijamos, cada fila contiene, ordenados, los valores por los que hay que multiplicar cada término del polinomio. Además, cada número es la suma de los dos inmediatamente superiores. He hecho una división por cercanía al borde, y las he nombrado. Así, si nos toca (a+b)³ podemos aplicar la fórmula de antes:

a³+a²b+ab²+b³

y multiplicar cada término por el número correspondiente. Como estamos con el valor de n=3, nos vamos a la tercera fila del triángulo: aparecen los números 1, 3, 3, 1. Multiplicamos, y nos sale

z₁a³+z₂a²b+z₂ab²+z₁b³ = a³+3a²b+3ab²+b3

Ahora toca añadir el valor z a la expresión general:

(a+b)ⁿ = z₁aⁿ+z₂a^n-1b⁰+z₃a^n-2b¹+ ··· +z3a¹b^n-2+z₂a⁰b^n-1+z₁bⁿ

Si el valor de n es par, en el término central tendríamos z_n/2.

Me parece que la fórmula es válida, lo que no tengo claro es si hay algo para saltarse el triángulo como referencia. Y con esto, ya vale de Matemáticas por esta semana.

Taller de Talento Matemático: ¡Ganamos!

El otro día participé con Ernesto en un concurso de parejas del TTM. Creímos haberlo hecho un poco chapuceramente, pero, contra todo pronóstico, somos los ganadores de 3º de la ESO. En la clasificación general, somos sextos, pero supongo que harán división por cursos.

Jhak también participó, sólo que con uno de 4º. Y puede que también haya ganado (no sabemos si ha quedado 2º o 4º).

Y con esto logramos quedar primeros en los dos concursos que se han hecho este año, el de equipos y el de parejas.

-Preguntas (pdf, en la web del TTM)

-Soluciones (que no doy)

-Ganadores

Taller de Talento Matemático: competición por parejas

Hoy por la tarde ha sido la undécima sesión del TTM (me parece que la cuarta a la que voy). Hoy no ha habido ninguna charla entretenida, ni presentación de diapositivas, ni papiroflexia. Concurso matemático por parejas. Me he puesto con Ernesto, y hemos ido a la carga.

Bueeeeno... Había 30 problemas. Hemos hecho unos 23. Y hecho bien, unos 14.

No creo que ganemos, pero por lo menos tenemos asegurado el premio del concurso por equipos (que ganamos hace un mes).

No ha estado mal, en cuanto pueda, me acuerde o me lo pidáis pondré los enunciados.

Curiosa coincidencia: Pi

Yo siempre he pensado que la letra griega Pi (que nunca pongo porque, misteriosamente, Blogger la anula) está completamente excluida del teclado. ¿Por que no cambian la inútil cedilla (Ç, ç) por Pi?
En teoría, hay una combinación de teclas con la que aparece, pero es algo poco práctico. He pensado que es mejor esto:

Pi = T +T

Tan sólo funciona con algunas tipografías, pero nunca está de más tener un atajo extra.

Arial: TT
Courier: TT
Georgia: TT
Trebuchet: TT
Verdana: TT

Menos da una piedra...

Actualización
Me responden de Microsiervos (se lo envié, como curiosidad), diciéndome algo mucho mejor que mi cutre fórmula:

Pi = &pi = π

Volumen del tronco de pirámide

Siempre he odiado la fórmula que aparece en los libros del colegio para hallar el volumen del tronco de pirámide:

V_{pirámide grande}-V_{pirámide pequeña}

Es fea, y no incita para nada a pensar. Bueno, lo que no incita a pensar son los datos que nos dan: en algunos ejercicios, ya te dicen los volúmenes de las dos pirámides. Así que ayer comencé a cavilar, y hoy he puesto en práctica un método de resolución, que para nada es una fórmula (ya me gustaría).

De modo que a los que, como yo, sólo han oído hablar de la fórmula de arriba les propongo este problema:

 Haya el volumen del siguiente tronco de pirámide:

Mañana, si tengo ganas, pondré la solución (¡con dibujitos de Illustrator!)

¡Ganamos!

Entre varios grupos que acudieron al concurso del otro día del Taller de Talento Mátemático, ganó ¡el nuestro!

(Y eso que, en uno de las respuestas, pusimos "lo sé porque conozco al jardinero")

¡Feliz día de Pi!

¡Felicidades a todos!

-Varias formulitas de pi.

-¡Qué bonito es pi!

-La canción de pi.

¡Y ya me sé 35 decimales!

Taller de Talento Matemático

Cada dos semanas, aproximadamente, y a lo largo del curso, en el edificio de Matemáticas de la Universidad se hacen unas jornadas dirigidas a chicos de 3º de ESO a 2º de Bachillerato.
Nos enteramos tarde, para la octava sesión, pero por suerte aún quedan bastantes.
La primera "clase" fue el día 20 de febrero, a la que fuimos Alejandro, Alfonso, Álvaro, Ernesto y yo. Trataba sobre el dominó: partidas perfectas y semiperfectas, posibles combinaciones, enunciados que se podían sacar de ello, teoría de grafos... Bastante interesante. Y, para rematar  la jornada, estuvo la caída memorable de Álvaro de la silla.

Ayer, viernes 13 (vaya con la friggaatriscaidecafobia) volvimos a la siguiente sesión. Hubo bajas: Alfonso y Álvaro prefirieron quedarse en casa. Ésta vez era una competición matemática por equipos, con problemas sacados del "Rally Matemático sin Fronteras", una competición originaria de Francia. Es una lástima habernos enterado de este mundillo tan tarde, ya que nos hemos perdido el concurso "Canguro Matemático" y la que acabo de decir. [Interrumpo el sermón: ¿alguien sabe por qué en la calle hay gente tocando la trompeta?]

En fin, nos organizamos por equipos de 6 personas (Alejandro, Ernesto y yo con otros tres de otro colegio), y empezaron a contarnos de qué iba la cosa: eran 8 problemas, extraídos de la edición del Rally de 1996, del nivel de 3º de ESO. Luego, pusieron un nombre a cada grupo: nosotros éramos "Teorema de Fermat" (todos los nombres eran de famosos teoremas).
Nos dividimos en subgrupos (3 parejas), para que cada problema fuese hecho dos veces, y comenzamos con los ejercicios:

1.- Al cociente

Consideremos los dos cocientes siguientes:

X=Área del triángulo ABC/Área del hexágono regular AA'BB'CC'
Y=Perímetro del triángulo ABC/Perímetro del hexágono AA'BB'CC'

Calculad el valor de X e Y

2.- Llevados por la barca

Tres adultos y tres niños tienen que atravesar un río en una barca tan pequeña que sólo pueden sentarse un adulto o dos niños.

¿Cuál es el número menor de travesías necesarias? (una ida y vuelta tiene dos travesías)

3.- Banda aparte

ABCD es un cuadrado; AI = AJ = CK = CL = 10 cm

El área de la banda rallada es igual a 1 m2

Calculad el valor exacto de lado de este cuadrado.

4.- IVA

En 1995 el tipo del IVA sobre el precio sin impuestos de un artículo pasó del 18'6% al 20'6%.

¿En qué porcentaje ha aumentado el precio final del artículo? (todos los impuestos incluidos)

5.- En helicóptero

El responsable del Rally Matemático Sin Fronteras con residencia en Toulouse ha de ir urgentemente a llevar las pruebas del Rally a Lugo, Barcelona, Andorra y, evidentemente, volver a Toulouse. Preocupado por el presupuesto del Rally decide utilizar su helicóptero privado, pero haciendo un circuito de longitud mínima.

¿Cuál es la distancia mínima recorrida para hacer un circuito de longitud mínima? Explicar el circuito.

Las distancias en línea recta están indicadas en el siguiente cuadro:

	Andorra	Barcelona	Lugo	Tolouse
Andorra	0
Barcelona	140	0
Luego	730	800	0
Tolouse	125	260	720	0

6.- Un problema de jardinero


En una residencia, cinco vecinos quieren plantar en cada uno de sus jardines rectangulares de lado pequeño igual a 10 metros, dos árboles y flores, dispuestos tal como indica la figura adjunta.

Cada árbol está situado en el interior de un círculo y las flores fuera del mismo.

La distancia entre los dos círculos es igual a la distancia de cada círculo a los lados del rectángulo.

Preguntan a un jardinero, el cual, observando que los terrenos tienen el lado grande diferente , exclama: "No estoy seguro de poder hacerlo en todos!"

Dad vuestra opinión escribiendo SI o NO en cada casilla vacía del cuadro siguiente (en la hoja de respuestas)

Lado grande del jardín	17m	14m	18'5m	21m	15m
¿Es posible?

7.- A la hora de los ángulo

¿Cuál es el valor exacto del ángulo formado por las agujas de un reloj cuando son las 10h 20'?

8.- En el horizonte

Desde el punto más alto A de un faro, situado a 40 metros sobre el nivel del mar se observa el horizonte.

¿A qué distancia de la punta del faro se encuentra aproximadamente el horizonte?

Indicación: Se trata de calcular al distancia AT (siendo T el punto de contacto de una tangente a la Tierra pasando por A). Como sabéis, la Tierra es redonda y la vuelta al mundo es de unos 40000 Km. (En el dibujo de aquí al lado, no se respetan, evidentemente, las proporciones)

Ernesto y yo hicimos los problemas 1, 2, 3 y 8, quizá bien, quizá mal. Una de nuestras complicaciones es que sólo teníamos como calculadora un móvil, y es bastante difícil hacer raíces de números con más de 10 dígitos... Pero acabo de comprobarlo, y quizá esté bien.

Un problemilla que hubo fue que no dio tiempo a hacer el sexto, por lo que acabamos poniendo Sí-No-Sí-No-Sí, y en el razonamiento "Porque conozco al jardinero". En fin...

La verdad es que es algo muy entretenido, a lo que recomiendo ir. Si queréis apuntaros, visitad la web del TTM. La próxima sesión es el día 27 de este mes, a la que yo quiero ir :-)

La fórmula del folio

Una de las características del formato DIN-A es que las áreas de los distintos tamaños mantienen la proporción, es decir, que un DIN-A4 es el doble de grande que un DIN-A5, y la mitad de un DIN-A3. Esto es bastante útil por diversas razones, ya que un tamaño universal facilita mucho las cosas. 

En fin, a lo que iba: si doblamos un folio de lados X, Y, por la mitad "corta", obtenemos otro de lados Y, X/2. Lógico, ¿no? Por lo tanto, el resultado de X/Y debe ser igual a Y/(X/2). Es proporción pura y dura. Así que, simplificando, obtenemos que X*X/2=Y*Y, luego X cuadrado=2*Y cuadrado. Y, por lo tanto, X, el lado mayor, será Y * raíz cuadrada de 2. Simple y sencillo.

¿Habéis visto lo que me cunden los entrenamientos?

Y perdón por ponerlo en modo texto, pero es que no había ganas de gaitas...

Serie: ¡Participad!

En la serie

2, 10, 12, 16, 17, 18, 19...

¿Cuál es el próximo número?

Y sigue el avance imparable de mi clase

Si el año pasado yo no me podía creer que dos tercios de la clase hubiese suspendido el examen de Evaluación de Matemáticas, lo de ahora no tiene nombre: somos 30. Han suspendido 25. Cinco han aprobado. Un sexto de la clase. La media ya está por debajo del aprobado.
Bueno, si ellos son felices...

Por cierto, yo he sido uno de los que han aprobado, y he tenido la segunda nota más alta (8, frente al 8'5 del ganador). Lástima el haber perdido 0'25 por "chapucero" en un ejercicio...

Matemáticas en la vida real

2+2=4.14 (IVA incluido)

Formulitas de Pi

En el libro que me estoy leyendo, "El teorema del loro", aparecen unas fórmulas con las que se obtiene el valor de pi. La verdad, me parece bastante curioso, aunque suponía que tenían que existir, ya que, hace 10 años, era difícil medir con precisión de decenas de decimales la longitud de un círculo...

Leonhard Euler. Funciona.


François Viète. Parece que el número que sale también se aproxima a pi.


John Wallis. Si funciona, hay que poner muchos números (o me he equivocado).


También de Euler. De momento, se me han quitado las ganas de resolverlo... De todos modos, si está en el libro, estará bien :-)



Gottfried W. Leibniz. Bastante más simple que las anteriores (me he atrevido a probarla, y parece que sale).



Y sin olvidar esta aproximación, bastante conocida, de Zhu Chongzhi (no tan conocido).


Simplificación de la primera de Euler.

Por cierto, la imagen del principio es mía.