Semejanza - Teoría
Semejanza - Teoría |
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Un modelo o maqueta es una representación de, por ejemplo, un edificio o un vehículo a pequeña escala. Si está realmente bien hecha, las formas son las mismas; tan sólo cambian las dimensiones. Para indicar el grado de reducción -o ampliación- al que se ha visto sometido el modelo, utilizamos las escalas. Una escala es únicamente una relación. Por ejemplo, si nos regalan una maqueta de la Torre Eiffel a escala 1:3000, esto quiere decir que nuestro modelo es 3.000 veces más pequeño que la Torre original, y viceversa.
Tales de Mileto, un matemático griego, descubrió que, para todos los triángulo, si se trazaba una paralela a cualquiera de sus lados, se formaba otro triángulo que era de diferente tamaño, pero igual forma. O, dicho de otra manera, los lados variaban, pero no los ángulos. Lo que hemos hecho ha sido multiplicar todos los lados por el mismo valor, k. Así, de tener a, b, c (triángulo rojo), hemos pasado a tener k·a, k·b y k·c (triángulo negro). Y ahora podemos demostrar que los segmentos del triángulo original guardan la misma proporción con el negro: |
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| Ahora llamaremos a los segmentos secundarios a', b', c'... De lo anterior se deduce la igualdad de la derecha, que constituye el Teorema de Tales: toda recta parelela a un un lado de un triángulo determina con los otros lados un nuevo triángulo cuyos lados son proporcionales a los del triángulo inicial. |  |
Si nos encontramos con dos triángulos, ¿cómo podemos saber si son semejantes? Si cumplen alguna de las siguientes condiciones:
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En el caso de los triángulos rectángulos, son semejantes si tienen al menos un ángulo en común (ya que siempre conocemos uno, el recto). Dos consecuencias muy útiles de esta característica son los teoremas de la altura y del cateto.
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Tomemos un triángulo (rectángulo en A), y tracemos la altura de la hipotenusa (a). Vemos que la hemos dividido en dos segmentos, a los que llamaremos m y n. Además, hemos dividido el triángulo original en dos más pequeños, que tienen la particularidad de ser semejantes. En la siguiente animación podemos ver cómo se cumple que, si dos triángulos rectángulos tienen al menos un ángulo agudo igual, son semejantes: |
| Y, al ser proporcionales, podemos ver que se cumple la siguiente igualdad, a la que se conoce como teorema de la altura: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre ella. |  |
Al dividir el triángulo original hemos formado dos triángulos semejantes, que tienen la particularidad de ser también semejantes al original. En la animación de la derecha tomamos uno de los triángulos menores, lo volteamos, y comprobamos que son semejantes.
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Y ahora podemos observar que se cumple la siguiente igualdad. Esto también ocurre con el otro cateto, siendo la fórmula
A esto se le conoce como teorema del cateto: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección ortogonal sobre ella. |
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